\documentclass[spanish,a4paper]{article}

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\author{G. Sebasti\'an Pedersen \\
\small{\texttt{(sebasped@gmail.com)}}
}
\title{Intervalos de concavidad positiva y negativa, y puntos de inflexi\'on}
\date{\small\textsf{Versi\'on 1: abril de 2011}}

\begin{document}
\maketitle

$$ f''>0 \quad \text{entonces} \quad f\,\text{es c\'oncava positiva}\;\cup$$
$$ f''<0 \quad \text{entonces} \quad f\,\text{es c\'oncava negativa}\;\cap$$

\paragraph{Ejercicio:} Determinar los intervalos de concavidad positiva y negativa, y las abscisas y ordenadas de los puntos de inflexi\'on de:
$$f(x)=\dfrac{1}{6}x^4+2x^3+5x^2+2x-3$$
Primero que todo le calculamos el dominio a $f$. En este caso es f\'acil ya que la funci\'on es un polinomio:
$$dom(f)=\mathbb{R}$$
Ahora averig\"uemos la derivada, y luego la derivada segunda:
$$f'(x)=\dfrac{4}{6}x^3+6x^2+10x+2$$
$$f'(x)=\dfrac{2}{3}x^3+6x^2+10x+2$$
$$f''(x)=2x^2+12x+10$$
Y ahora le calculamos los ceros a $f''$:
\begin{align*}
f''(x) &=0 \\
2x^2+12x+10 &=0 \\
x=-1 &,\; x=-5
\end{align*}
Luego teniendo el cuenta el dominio y los ceros de $f''$, armamos los intervalos: 
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
& (-\infty;-5) & -5 & (-5;-1) & -1 & (-1;+\infty) \\
\hline
f'' & & 0 & & 0 & \\
\hline
f & & & & &
\end{array}
$$
Luego elejimos un $x$ en cada intervalo y nos fijamos en signo de $f''$:
$$f''(-6)=2(-6)^2+12(-6)+10=\ldots=\,\text{positivo}$$
$$f''(-2)=\ldots=\,\text{negativo}$$
$$f''(0)=\ldots=\,\text{positivo}$$
Entonces nos queda:
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
& (-\infty;-5) & -5 & (-5;-1) & -1 & (-1;+\infty) \\
\hline
f'' & f''(-6)<0 & 0 & f''(-2)>0 & 0 & f''(0)<0 \\
\hline
f & \cap & & \cup & & \cap
\end{array}
$$
Y adem\'as de la tabla observamos que en $x=-5$ y en $x=-1$ la funci\'on $f$ tiene puntos de inflexi\'on, ya que la concavidad cambia. Para averiguar las ordenadas de los puntos de inflexi\'on, simplemente calculamos $f(-5)$ y $f(-1)$.



\paragraph{Ejercicio:} Determinar los intervalos de concavidad positiva y negativa, y las abscisas y ordenadas de los puntos de inflexi\'on de:
$$f(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{8}x^2$$
Primero que todo le calculamos el dominio a $f$. En este caso, como no puedo dividir por cero, resulta:
$$dom(f)=\mathbb{R}-\{-1\}$$
Ahora averig\"uemos la derivada, y luego la derivada segunda:
$$f'(x)=\dfrac{-1}{(x+1)^2}-\dfrac{1}{4}x$$
$$f''(x)=\dfrac{2}{(x+1)^3}-\dfrac{1}{4}$$
Y ahora le calculamos los ceros a $f''$:
\begin{align*}
f''(x) &=0 \\
\dfrac{2}{(x+1)^3}-\dfrac{1}{4} &=0 \\
\dfrac{2}{(x+1)^3}&=\dfrac{1}{4} \\
2&=\dfrac{1}{4}(x+1)^3 \\
8&=(x+1)^3 \\
\sqrt[3]{8}&=x+1 \\
2&=x+1 \\
1&=x \\
\end{align*}
Luego teniendo el cuenta el dominio y los ceros de $f''$, armamos los intervalos: 
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
& (-\infty;-1) & -1 & (-1;1) & 1 & (1;+\infty) \\
\hline
f'' & & \nexists & & 0 & \\
\hline
f& & \nexists& & &
\end{array}
$$
Luego elejimos un $x$ en cada intervalo y nos fijamos en signo de $f''$:
$$f''(-2)=\ldots=\,\text{negativo}$$
$$f''(0)=\ldots=\,\text{positivo}$$
$$f''(3)=\ldots=\,\text{positivo}$$
Entonces nos queda:
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
& (-\infty;-1) & -1 & (-1;1) & 1 & (1;+\infty) \\
\hline
f'' & f''(-2)<0 & \nexists & f''(0)>0 & 0 & f''(3)>0 \\
\hline
f & \cap &\nexists & \cup & & \cup
\end{array}
$$
Y adem\'as de la tabla observamos que $f$ no tiene puntos de inflexi\'on (a pesar de que en $x=-1$ cambia la concavidad, no es punto de inflexi\'on pues all\'i la funci\'on no existe, es decir $-1\notin dom(f)$).







\end{document}

